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Momento angular de uma partícula

Momento angular de um sólido rígido

Teorema de Steiner

Energia cinética de rotação

Equação da dinâmica de rotação

Princípio de conservação do momento angular

Trabalho e energia no movimento de rotação

Impulso angular

Momento angular de uma partícula

Se define momento angular de uma partícula como o produto vetorial do vetor posição r pelo vetor momento linear mv

L=r´mv


Momento angular de um sólido rígido

As partículas de um sólido rígido em rotação ao redor de um eixo fixo descrevem circunferências centradas no eixo de rotação com uma velocidade que é proporcional ao raio da circunferência que descrevem vi=w ·ri solido1.gif (2318 bytes) Na figura, é mostrado o vetor momento angular Li de uma partícula de massa mi cuja posição é dada pelo vetor ri e que descreve uma circunferência de raio Ri com velocidade vi.

O módulo do vetor momento angular vale Li=rimivi

Sua projeção sobre o eixo de rotação Z é

Liz=miviricos(90-q i), logo,

O momento angular de todas as partículas do sólido é

A projeção Lz do vetor momento angular ao longo do eixo de rotação é

O termo entre parênteses é denomina momento de inércia

Em geral, o vetor momento angular L não tem a direção do eixo de rotação, logo, o vetor momento angular não coincide com sua projeção Lz ao longo do eixo de rotação. Quando coincidem dizemos que o eixo de rotação é um eixo principal de inércia.

Para estes eixos existe uma relação simples entre o momento angular e a velocidade angular, dois vetores que tem a mesma direção, a do eixo de rotação

L=Iw

O momento de inércia não é uma quantidade característica como a massa ou o volume, e sim que seu valor depende da posição da massa relativa ao eixo de rotação. O momento de inércia é mínimo quando o eixo de rotação passa pelo centro de massa.

Corpo


Momento de inércia Ic

Varinha delgada de comprimento L


Disco e cilindro de raio R


Esfera de raio R


Aro de raio R


mR2


Teorema de Steiner

O teorema de Steiner é uma fórmula que nos permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto O, quando conhecemos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massas e a distância entre os eixos.

O momento de inércia do sólido relativo a um eixo que passa por O é

O momento de inércia relativo a um eixo que passa por C é

Para relacionar IO e IC temos que relacionar ri e Ri.

Na figura, temos que: O termo intermediário no segundo membro é zero já que obtemos a posição xC do centro de massa desde o centro de massa (condição para que C seja o centro de massas do sistema).

Exemplo Seja uma varinha de massa M e comprimento L, que tem duas esferas de massa m e raio r simetricamente dispostas a uma distância d do eixo de rotação que é perpendicular a varinha e passa pelo ponto médio da mesma.

Um pêndulo consiste em uma varinha de massa M e comprimento L, e um corpo de forma cilíndrica de massa m e raio r. O pêndulo pode oscilar ao redor de um eixo perpendicular a varinha que passa por seu extremo O

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