Ponto recorrente

Na teoria dos sistemas dinâmicos, diz-se que um ponto é recorrente quando ele pertence ao seu conjunto ômega-limite. O estudo de um certo sistema dinâmico quase sempre reduz-se à descrição do comportamento das órbitas dos seus pontos recorrentes.

Definição

Sejam $X$ um espaço topológico e $f:X \rightarrow X$ um homeomorfismo. Dizemos que $p \in M$ é um ponto recorrente caso $p\in \omega (p)$

Além disto, definimos o conjunto ômega-limite de $f$ por $\Omega (f)=\{p\in Z\mid p\in \omega (p)\}$.

Para fluxos, mutatis mutandis, temos a seguinte definição:

Sejam $M$ uma variedade suave e $\phi: \mathbb{R} \times M \rightarrow M$ um fluxo contínuo definido sobre $M$. Dizemos que $p \in M$ é um ponto recorrente caso $p\in \omega (p)$.

Definimos o conjunto ômega-limite de $\phi$ por $\Omega (f)=\{p\in Z\mid p\in \omega (p)\}$.

Propriedades

• $\Omega(f)$ é um conjunto invariante pela ação do difeomorfismo (ou do fluxo) que define a dinâmica.

• Se o espaço topológico onde está definida a dinâmica for compacto, pode-se mostrar que $\Omega(f)$ é um conjunto não-vazio.

• Para difeomorfismos do tipo Axioma A definidos sobre uma variedade fechada, $\Omega(f)$ possui no máximo um número finito de componentes conexas.

• Todo ponto recorrente é não-errante. A recíproca não é verdadeira.