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Na teoria dos sistemas dinâmicos, diz-se que um ponto é recorrente quando ele pertence ao seu conjunto ômega-limite. O estudo de um certo sistema dinâmico quase sempre reduz-se à descrição do comportamento das órbitas dos seus pontos recorrentes.

DefiniçãoEditar

Sejam X um espaço topológico e f:X \rightarrow X um homeomorfismo. Dizemos que p \in M é um ponto recorrente caso p \in \omega(p)

Além disto, definimos o conjunto ômega-limite de f por \Omega(f)=\{p \in Z \mid p \in \omega(p)\}.

Para fluxos, mutatis mutandis, temos a seguinte definição:

Sejam M uma variedade suave e \phi: \mathbb{R} \times M \rightarrow M um fluxo contínuo definido sobre M. Dizemos que p \in M é um ponto recorrente caso p \in \omega(p).

Definimos o conjunto ômega-limite de \phi por \Omega(f)=\{p \in Z \mid p \in \omega(p)\}.

PropriedadesEditar

  • \Omega(f) é um conjunto invariante pela ação do difeomorfismo (ou do fluxo) que define a dinâmica.
  • Se o espaço topológico onde está definida a dinâmica for compacto, pode-se mostrar que \Omega(f) é um conjunto não-vazio.
  • Para difeomorfismos do tipo Axioma A definidos sobre uma variedade fechada, \Omega(f) possui no máximo um número finito de componentes conexas.
  • Todo ponto recorrente é não-errante. A recíproca não é verdadeira.

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