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Na área de sistemas dinâmicos, o modelo Olami-Feder-Christensen (também conhecido como modelo OFC) foi inicialmente proposto por Z. Olami, H. J. S. Feder e K. Christensen como um modelo simplificado para a propagação de terremotos e como um exemplo da criticalidade auto-organizada (SOC).

O modelo Editar

O modelo OFC é um autômato celular, normalmente definido em uma rede de células quadrada de lado L\,\! (embora existam generalizações em que o modelo é definido em um grafo) contínuo, ou seja, os estados das células e o tempo são definidos por valores contínuos e não por valores discretos. A evolução do modelo se dá por iterações que ocorrem em duas etapas, chamadas de acúmulo de tensão e relaxamento (ou avalanche, que representa o terremoto propriamente dito).

Os estados das células são definidos por uma variável real K\,\!, chamada de tensão. Vamos primeiramente escolher um intervalo para essa variável. Sem perda de generalidade (isso fica mais claro depois) podemos escolher K \geq 0. Também precisamos escolher um valor K_c > 0\,\!, chamado de tensão crítica que também é arbitrário e é normalmente escolhido como 1 e um último parâmetro \alpha\,\! que tem relação com a dissipação.

No acúmulo de tensão, as células (também chamadas de sítios) obedecem a seguinte regra:

M=\max_{(i,j)\in R}(K_{i,j})

K_{i,j}\leftarrow K_{i,j}-M+K_c \, \forall \, (i,j)\in R

onde R\,\! é a rede inteira, representada por \{1,\ldots ,L\}\times \{1,\ldots ,L\} e K_{i,j}\,\! é a tensão do sítio (i,j)\,\!

Essa regra permite definir uma variável temporal para o modelo e que evoluiria nessa etapa como:

t\leftarrow t+K_c-M

Isso equivale a dizer que a tensão vai se acumulando em todos os sítios com:

\frac{\mbox{d}K_{i,j}}{\mbox{d}t}=1 até que algum sítio atinja a tensão K_c\,\!

Os sítios que após o acúmulo de tensão tem tensão igual a K_c\,\! são chamados epicentros da iteração (ou epicentros do terremoto).

No relaxamento, os sítios obedecem a seguinte regra enquanto houverem sítios com tensão maior ou igual a K_c\,\! (também chamados de sítos críticos):

Sejam C_1,\ldots ,C_n todos os sítios críticos da rede

K'_{C_q}\leftarrow K_{C_q} \,\forall\, q=1,\ldots ,n

K_{C_q}\leftarrow 0 \,\forall\, q=1,\ldots ,n

K_v \leftarrow K_v+\alpha K'_{C_q} \,\forall\, v vizinho de C_q\,\! para cada um dos q=1,\ldots ,n

onde vizinho tem aqui o significado usualmente usado para uma rede e os K'\,\! são variáveis auxiliares.

As formas de tratar os vizinhos dos sítios da borda definem diferentes versões do modelo (as formas de tratar as bordas são chamadas condições de contorno e serão abordadas adiante). Essa regra, assim como a do acúmulo da tensão tem uma interpretação simples. As tensões saem dos blocos críticos e se espalham para seus vizinhos, isso pode gerar uma reação em cadeia, pois os vizinhos de um bloco crítico que não fossem críticos podem passar a serem críticos depois de receber mais tensão.

Essa reação em cadeia é o que representa o terremoto no modelo OFC. Isso torna interessante definir duas variáveis, o tamanho de um terremoto S\,\! e a sua energia liberada E\,\!. A primeira é definida como sendo o número de sítios que se tornaram críticos durante a iteração e a outra é a soma de toda a tensão que foi "relaxada", ou seja, a soma das tensões dos sítios que se tornaram críticos (a tensão é somada a E\,\! toda vez que um sítio relaxa, de forma que não vale que L^2K_c\,\! seja um máximo de E\,\!)

Condições de contorno Editar

Para o modelo definido em uma rede quadrada temos duas condições de contorno principais:

  • Condições de contorno periódicas
  • Condições de contorno livres

Que são impostas apenas definido quais são os vizinhos de cada sítio na borda. No primeiro caso, os sítios (1,i)\,\! são vizinhos dos (L,i)\,\! e os sítios (i,1)\,\! são vizinhos dos (i,L)\,\! para i=1,\ldots ,L. No segundo caso, os sítios das quinas tem apenas dois vizinhos e os outros sítios de borda três vizinhos.

A interpretação das duas condições de contorno é bastante simples. A primeira é equivalente a um modelo definido em uma rede plana infinita, mas com uma regularidade de período L em ambas as direções da rede (vertical e horizontal). Como em uma rede infinita não existe o problema de ter que tratar as bordas de forma diferente, isso equivale a não usar bordas no modelo. Essa abordagem é muito comum em vários problemas de mecênica estatística e em outros autômatos celulares cujas evoluções precisam ser calculadas numericamente.

Já as condições de contorno livres são como se a tensão que saísse da borda não pudesse mais voltar para ela. Essa condição é claramente inspirada na condição de contorno do modelo da pilha de areia BTW e pode ser interpretada como a existência de um tipo diferente de sítio, cuja tensão vale sempre 0 (ou seja, ele obedece a uma regra diferente de evolução dos sítios comuns e acaba atuando como um sorvedouro de tensão). Esses sítios são convenientemente chamados de bordas e os sítios que obedecem às regras normais são chamados blocos (por causa do modelo de Burridge-Knopoff). Nesse caso teríamos uma rede quadrada de lado L+2\,\! em que os sítios mais externos são bordas e os outros sítios são blocos.

O parâmetro de conservação Editar

A evolução do modelo depende de um parâmetro \alpha\,\!, chamado de parâmetro de conservação. Note que se um bloco crítico tem tensão K_0\,\!, ele transfere para os seus sítios vizinhos uma tensão 4\alpha K_0\,\! e perde toda a tensão que ele possuía. Logo, se nenhum dos sítios vizinhos desse bloco for uma borda, a variação de tensão na rede inteira por causa desse relaxamento é \Delta K=(4\alpha-1)K_0\,\!, se alguma borda é vizinha do sítio essa variação é sempre menor que esse valor. Se \Delta K=0\,\! sempre que nenhum vizinho é borda, o modelo é dito conservativo (pois esse tipo de relaxamento conserva a tensão total). Ou seja, se \alpha=0,25\,\! o modelo conserva a tensão total em um relaxamento. Se \alpha<0,25\,\! o modelo é dito não-conservativo (pois a tensão total sempre diminui em um relaxamento).

Como o caso \alpha>0,25\,\! implica num acréscimo de tensão ele não tem interesse para a modelagem de terremotos, pois ele equivaleria a um aumento da energia mecânica do sistema sem nenhuma influência externa (isso pode ser visto pela analogia desse modelo com o de Burridge-Knopoff). Porém no caso de condições periódicas de contorno, como não temos sítios que são bordas, todo relaxamento aumenta a tensão total do sistema. Logo a partir do momento em que a tensão total for maior que K_cL^2\,\! não existem mais configurações da rede que consigam sair da etapa de relaxamento, o que implica que as tensões dos sítios, o tamanho e a energia do terremoto divergem para \infty\,\!. Além disso, a tensão excede esse limite em um máximo de \frac{L^2}{4\alpha-1}\,\! relaxamentos.

O modelo com condições periódicas possui outra propriedade, se \alpha\leq 0,25\,\! o modelo entra em um regime periódico. Em especial, a partir de um certo ponto, se \alpha=0,25\,\!, S\,\! e E\,\! divergem, mesmo com a tensão se mantendo constante e os sítios são relaxados periodicamente com período L^2\,\!.

Por essa razão, o modelo com condições de contorno livres é o mais estudado e as principais questões são quais são as diferenças de comportamento entre o modelo conservativo e o não-conservativo e se o modelo exibe realmente SOC.en:Olami-Feder-Christensen model

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