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Na teoria dos sistemas dinâmicos sobre variedades, uma filtração é uma seqüência de subvariedades onde se pode decompor a dinâmica em pedaços menores.

DefiniçãoEditar

Sejam M uma variedade suave e f:M \rightarrow M um homeomorfismo. Além disto, sejam k \in \mathbb{N} positivo, e \emptyset=M_0,...,M_k=M uma seqüência de subvariedades de M, possivelmente com fronteira, e com codimensão 0. Dizemos que M=\{M_0,...,M_k\} é uma filtração adaptada a f caso f(M_i) esteja contido no interior de M_i, para cada i entre 0 e k.

Se M=\{M_0,...,M_k\} e N=\{M_0,...,M_l\} são duas filtrações, dizemos que M refina N caso para cada i \in \{1,..,l\}, exista um j \in \{1,..,k\} tal que N_i \setminus N_{i-1} \subset M_j \setminus M_{j-1}.

Dizemos \{M_i\}_{i \in \mathbb{N}} é uma seqüência de filtrações caso Mi+1 refine M_i, para todo i \in \mathbb{N}.

AplicaçõesEditar

O conceito de filtração é utilizado para definir uma condição (a existência de uma sequência fina de filtrações), que garanta que o conjunto dos pontos não-errantes de um homeomorfismo é contínuo superiormente na topologia de Hausdorff. Na linguagem dos sistemas dinâmicos, temos o seguinte teorema: a existência de uma sequência fina de filtrações adaptadas a um homeomorfismo f implica que não existem ômega-explosões para um homeomorfismo f.


ReferênciasEditar

  • Shub, M. (1996) Global stabiltity of dynamical systems, Springer Verlag.

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