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Em matemática, e mais especificamente na teoria dos sistemas dinâmicos, dizemos que um conjunto não-vazio  A \subset \mathbb{R}^n (n \geq 1) é um atrator global para o sistema dinâmico discreto gerado por um homeomorfismo f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n caso:

  • Exista uma vizinhança V de A tal que f(\overline{V}) \subset V e \bigcap_{k \geq 1}f^k(V)=A, e
  • \omega(p) \in A, para todo p \in \mathbb{R}^n.

De forma análoga, se define um atrator global para um fluxo sobre \mathbb{R}^n.

A conjectura discreta de Markus-YamabeEditar

A conjectura discreta de Markus-Yamabe afirma que se para todo p \in \mathbb{R}^n, tivermos que todos os autovalores do jacobiano de uma aplicação diferenciável f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n estão contidos em \{z \in \mathbb{C} \mid ||z||<1\}, então o sistema dinâmico discreto gerado por f tem \{0\} como atrator global, supondo que \{0\} é ponto fixo de f. Em 1995, Szlenk encontrou um contra-exemplo para esta conjectura em todas as dimensões maiores que um. O exemplo de Szlenk consiste de um difeomorfismo cujas entradas possuem coeficientes racionais, isto é; quocientes de polinômios. Infelizmente, Szlenk faleceu antes de publicar o seu contra-exemplo, o que finalmente aconteceu em 1997, graças a um artigo de A. Cima, A. van den Essen, A. Gasull, E. Hubbers e F. Mañosas.

ReferênciasEditar

A. Cima, A. van den Essen, A. Gasull, E. Hubbers e F. Mañosas. A polynomial counterexample to the Markus-Yamabe conjecture. Adv. Math., 131 no. 2 pp. 453–457, 1997.

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