Atrator global

Em matemática, e mais especificamente na teoria dos sistemas dinâmicos, dizemos que um conjunto não-vazio $A\subset \mathbb {R} ^{n}(n\geq 1)$ é um atrator global para o sistema dinâmico discreto gerado por um homeomorfismo $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ caso:

• Exista uma vizinhança $V$ de $A$ tal que $f({\overline {V}})\subset V$ e $\bigcap _{k\geq 1}f^{k}(V)=A$, e

• $\omega (p)\in A$, para todo $p\in \mathbb {R} ^{n}$.

De forma análoga, se define um atrator global para um fluxo sobre $\R^n$.

A conjectura discreta de Markus-Yamabe

A conjectura discreta de Markus-Yamabe afirma que se para todo $p\in \mathbb {R} ^{n}$, tivermos que todos os autovalores do jacobiano de uma aplicação diferenciável $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ estão contidos em $\{z\in \mathbb {C} \mid ||z||<1\}$, então o sistema dinâmico discreto gerado por $f$ tem $\{0\}$ como atrator global, supondo que $\{0\}$ é ponto fixo de $f$. Em 1995, Szlenk encontrou um contra-exemplo para esta conjectura em todas as dimensões maiores que um. O exemplo de Szlenk consiste de um difeomorfismo cujas entradas possuem coeficientes racionais, isto é; quocientes de polinômios. Infelizmente, Szlenk faleceu antes de publicar o seu contra-exemplo, o que finalmente aconteceu em 1997, graças a um artigo de A. Cima, A. van den Essen, A. Gasull, E. Hubbers e F. Mañosas.

Referências

A. Cima, A. van den Essen, A. Gasull, E. Hubbers e F. Mañosas. A polynomial counterexample to the Markus-Yamabe conjecture. Adv. Math., 131 no. 2 pp. 453–457, 1997.